Problème posé et résolu par Daniel Bernoulli en 1732 et par Euler en 1781. Voir cet article pages 111-114 pour l'historique et la résolution. Sites :  -  scipython.com/blog/the-hanging-chain/ -  proofwiki.org/wiki/Bernoulli%27s_Hanging_Chain_Problem -  pour des oscillations quelconques : math.arizona.edu/~gabitov/teaching/181/math_485/Final_Report/Spinning_chain_final_report.pdf -  vidéo des mouvements réels d'une chaîne : Oscillation modes in a Hanging Chain

 

Équation cartésienne :  où  est la première fonction de Bessel d'ordre 0, solution de . Pour une chaîne de longueur , équation horaire : pour  ;  est défini par , soit  ; on pose donc  où est le n-ième zéro positif de . La pulsation du pendule simple étant , .

 

Animation pour n = 1	Animation pour n = 2	Animation pour n = 3

La courbe de la chaîne suspendue, ou, plus précisément, courbe des petites oscillations de la chaîne suspendue à une extrémité, est la forme prise par un fil pesant supendu à une extrémité et placé dans un champ de pesanteur uniforme.
 

Pour ces petites oscillations, le mouvement est périodique, mais il devient chaotique pour des oscillations quelconques : la chaîne peut alors être approchée par un pendule multiple, généralisation du pendule double.
Voir cette impressionnante vidéo montrant les oscillations chaotiques d'un tel pendule.

courbe suivante

courbe précédente

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

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